Носител на множество авторитетни награди, сред които от най-значимите конкурси: Женева, ARD – Мюнхен и Markneukirchen, удостоен с наградата „Грами” за класическа музика и с Dawidov Prize, на 18-годишна възраст Баборак е назначен за първи валдхорнист на Чешката филхармония – без конкурс, заради изключителните си качества.
Оттогава името му последователно се свързва (винаги като първи валдхорнист) с Мюнхенска филхармония, с Бамбергските симфоници, а в периода 2003 – 2010 - с легендарната Берлинска филхармония. Баборак е работил с голям брой световни диригенти, свирил е като солист на най-прочутите оркестри в света, записвал е компактдискове за компаниите EMI, Supraphon, Exton, Arte Nova, Artesmon, Animal Music. Концертът – откриване на зимните олимпийски игри в Нагано поставя началото на дългогодишното му сътрудничество със Сейджи Озава. Той е основател и лидер на „Баборак Ансамбъл“, с който ще гостува в България и който е съставен от едни от най-добрите чешки музиканти.