Милен Божков е роден във Варна, България. Тенорът се дипломира в Музикалната Академия “Проф. Панчо Владигеров” София и специализира оперно изкуство в Университета за музика - Грац, Австрия при проф. Йоана Боровска. Непосредствено след това yсъвършенства певческата си техника при Красимира Стоянова, от която редовно получава професионални напътствия.
Първите му ангажименти са в Националната опера в София под ръководството на академик Пламен Карталов. След натрупания опит, вратите на Операта в Грац се отварят за него.
От 2007 до 2009 е постоянен член в състава на оперния театър на Марибор.
Следват концертни изяви в Япония, Австрия, Германия, Словения, Хърватия, Латвия и България.
В репертоара на певеца влизат ролите на Неморино от „Любовен еликсир“ на Доницети, Тит от „Милосърдието на Тит“ на Моцарт, Тамино /“Вълшебната флейта“ от Моцарт/, Владимир от „Княз Игор“ на Бородин, Вертер от едноименната опера на Масне, Херцогът на Мантуа /“Риголето“ на Верди/, Де Грийо от „Манон“ на Масне, Дон Хозе /“Кармен“ на Бизе/, Джералд от „Лакме“ на Делиб, Алфред от „Травиата“ на Верди, Рикардо от “Бал с маски“ на Верди.
Едновременно с многото гостувания на различни сцени и фестивали в Германия, Австрия и Швейцария, Милен Божков получава назначение през 2008/09 в Landestheater Coburg.
От 2013 той е на свободна практика. През 2024 Милен Божков ще направи своя дебют в ролята на Отело в едноименния спектакъл на Верди, представен от Старозагорската опера и с участието на звездите Красимира Стоянова и Желко Лучич.